Differentiaali- ja integraalilaskentaLaajuus (3 op)

Osaamistavoitteet

Opiskelija on tuntee keinot, joiden avulla hyödynnetään derivointia mm. yhtälöä ratkaistaessa ja haettaessa funktion optimiarvoja. Opiskelija tuntee periaatteet, joilla arvioidaan numeerisen derivoinnin ja integroinnin tarkkuutta. Opiskelija tuntee idean, jolla mm. fysiikan peruskaavoista muodostuu integraali. Opiskelija on selvillä siitä, millaista yhtälöä sanotaan differentiaaliyhtälöksi ja mitä tarkoitetaan sillä, että annettu funktio on differentiaaliyhtälön ratkaisu.

Opiskelija osaa derivoida kaikki funktiot, jotka eivät ole mutkikkaampia kuin sellaiset yhdistetyt funktiot, joissa sisäfunktio on lineaarinen lauseke. Opiskelija osaa ratkaista yhtälöt numeerisesti sekä haarukoimalla että Newtonin menetelmällä sekä osaa hakea funktion optimiarvoja derivaattaa apuna käyttäen. Opiskelija osaa integroida tavalliset perusfunktiot ja niiden summat sekä sellaiset yhdistetyt funktiot, joissa sisäfunktio on lineaarinen lauseke. Opiskelija pystyy määrittämään pinta-aloja, tilavuuksia ja funktion keski- ja tehollisarvoja integraalin avulla. Opiskelija suoriutuu myös numeerisesta integroinnista ja osaa arvioida näin saatujen tulosten tarkkuutta.

Sisältö

Vaativammat derivaatan laskemiskeinot. Haarukointi- ja Newtonin menetelmä yhtälöiden ratkaisemisessa. Ääriarvot ja funktion optimiarvojen hakeminen.

Integraalifunktio ja määrätty integraali ja näiden yhteydet. Integroimistekniikkaa: perusfunktioiden ja niiden lineaarikombinaatioiden integrointi sekä tilanne, jossa integroitavan muuttuja on kerrottu vakiolla.

Differentiaali ja sen käyttö epävarmuuden arvioinnissa ja integraalilaskennan sovellustehtävien lähtökohtana. Integraalilaskennan sovelluksia: Pinta-alat, tilavuudet, keskiarvot.

Differentiaaliyhtälön ja sen ratkaisun käsite (ei ratkaisemistekniikkaa).

Esitietovaatimukset

Lausekkeet ja yhtälöt, Yhtälöryhmät ja matriisit, Funktiot ja derivaatta