DifferentiaaliyhtälötLaajuus (3 op)

Osaamistavoitteet

Opiskelija on selvillä siitä, että eri tyyppisten differentiaaliyhtälöiden ratkaisemisessa käytetään kullekin tyypille ominaisia menetelmiä. Opiskelija osaa yhdistää suuntakentän antaman informaation differentiaaliyhtälöiden numeerisiin ratkaisumenetelmiin. Opiskelijalla on käsitys linearisoinnin ja diskretoinnin vaikutuksesta differentiaaliyhtälöiden ratkaisuihin.

Opiskelija osaa luokitella differentiaaliyhtälöt. Opiskelija hallitsee lineaaristen vakiokertoimisten differentiaaliyhtälöiden ratkaisemisen. Opiskelija osaa hahmotella differentiaaliyhtälöiden ratkaisukäyriä suuntakenttään. Opiskelija osaa käyttää matemaattisia ohjelmistoja differentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseen perustuvissa tekniikan probleemoissa. Opiskelija osaa linearisoida (erityisesti autonomiset) differentiaaliyhtälöt ja arvioida ratkaisun muuttumista linearisoinnin yhteydessä. Opiskelija osaa diskretoida (erityisesti lineaariset) differentiaaliyhtälöt, ratkaista saadun differenssiyhtälön ja arvioida ratkaisun muuttumista diskretoinnin yhteydessä.

Sisältö

Differentiaaliyhtälön ja sen ratkaisun käsite. Yksinkertaisimpien differentiaaliyhtälöiden ratkaiseminen, erityisesti lineaaristen vakiokertoimisten yhtälöiden tapauksessa. Alkuarvoprobleemat. Differentiaaliyhtälöiden ratkaiseminen numeerisesti matemaattisten ohjelmistojen avulla. Differentiaaliyhtälön ja differentiaaliyhtälöparin linearisointi sekä linearisoinnin vaikutuksen arviointi. Differentiaaliyhtälön diskretointi ja diskretoinnin vaikutuksen arviointi. Matriisi-eksponenttifunktion määrittämisen keinot. Lineaarisen differentiaaliyhtälön matriisiesitys ja tilayhtälöt aika- ja s-tasossa.

Esitietovaatimukset

Lausekkeet ja yhtälöt, Yhtälöryhmät ja matriisit, Funktiot ja derivaatta , Differentiaali- ja integraalilaskenta sekä Laplace-muunnos.