DifferentiaalilaskentaLaajuus (3 op)

Osaamistavoitteet

Opintojakson suoritettuaan opiskelija tuntee funktion raja-arvon käsitteen, osaa laskea yksinkertaisia raja-arvoja ja ymmärtää, mitä funktion jatkuvuudella tarkoitetaan. Opiskelija ymmärtää derivaatan erotusosamäärän raja-arvona ja osaa derivoida tavallisimmat reaalifunktiot sekä niistä kokoonpannut lausekkeet. Hän osaa tutkia funktion monotonisuutta ja ääriarvoja derivaatan avulla. Opiskelija ymmärtää funktion raja-arvon ja lukujonon raja-arvon eron. Hän ymmärtää päättymättömän sarjan summan osasummien jonon raja-arvona ja pystyy määrittämään esim. suppenevan geometrisen sarjan summan. Opiskelija ymmärtää, mitä funktion sarjakehitelmällä tarkoitetaan. Suoritettuaan kurssin opiskelija osaa rakentaa ja ratkaista muuttuviin suureisiin ja muutosnopeuteen liittyviä matemaattisia malleja sekä tulkita niiden antamia tuloksia.

Sisältö

1) Raja-arvo ja jatkuvuus
2) Derivaatta sovelluksineen
3) Päättymättömät jonot ja sarjat

Esitietovaatimukset

Funktiot ja kompleksiluvut. Teorian omaksuminen ei edellytä kompleksilukujen tuntemista.

Arviointikriteerit, tyydyttävä (1)

1) Raja-arvo ja jatkuvuus
Opiskelijalla on mielikuva raja-arvon ja jatkuvuuden käsitteistä. Hän osaa laskea yksinkertaisen funktion raja-arvon esim. supistamalla osamäärästä nollaa lähestyvän yhteisen tekijän pois.
2) Derivaatta sovelluksineen
Opiskelijalla on mielikuva derivaatan ja funktion arvon muutosnopeuden ja muutoksen suunnan välisestä yhteydestä. Hän osaa derivoida tavallisimmat reaalifunktiot ja ratkaista yksinkertaisen ääriarvotehtävän.
3) Päättymättömät jonot ja sarjat
Opiskelija tuntee lukujonon ja sarjan käsitteet. Opiskelijalla on mielikuva sarjan suppenemisesta. Hän osaa määrittää suppenevan geometrisen sarjan summan.

Arviointikriteerit, hyvä (3)

1) Raja-arvo ja jatkuvuus
Opiskelija ymmärtää raja-arvon ja jatkuvuuden käsitteet yleistyksineen (toispuolinen raja-arvo, rajaton kasvu jne.). Hän pystyy ratkaisemaan tavanomaiset raja-arvotehtävät ja tutkimaan ilmiöitä raja-arvon avulla. Opiskelija tuntee Bolzanon lauseen ja osaa etsiä funktion nollakohdalle numeerisen likiarvon haarukoimalla.
2) Derivaatta sovelluksineen
Opiskelija osaa selvittää funktion derivoituvuuden erotusosamäärää tutkimalla. Hän suoriutuu tavanomaisista derivoinneista ja ääriarvotehtävistä. Opiskelija ymmärtää differentiaalin käsitteen ja osaa arvioida funktion arvon muutosta differentiaalin avulla. Opiskelija tuntee Newtonin menetelmän ja osaa käyttää sitä yhtälön numeerisessa ratkaisemisessa.
3) Päättymättömät jonot ja sarjat
Opiskelija ymmärtää funktion raja-arvon ja jonon raja-arvon välisen eron. Hän ymmärtää, mitä sarjalla ja sen suppenemisella tarkoitetaan. Opiskelija pystyy määrittämään geometrisen sarjan ja muiden yksinkertaisten sarjojen summan tai osoittamaan sarjan hajaantuvaksi. Opiskelija ymmärtää, mikä on funktion sarjakehitelmä. Opiskelija osaa mallintaa ilmiöitä jonojen ja sarjojen avulla (esim. vertailla algoritmien kompleksisuutta).

Arviointikriteerit, kiitettävä (5)

1) Raja-arvo ja jatkuvuus
Opiskelijalla on selkeä intuitiivinen käsitys raja-arvosta ja jatkuvuudesta (matemaattisia epsilon-delta-määäritelmiä ei vaadita). Opiskelija suoriutuu erityistä taitoa vaativista raja-arvotehtävistä.
2) Derivaatta sovelluksineen
Opiskelija tuntee derivaatan sovellusmahdollisuuksineen erinomaisesti, ja pystyy tarvittaesssa johtamaan esim. tavallisimpien reaalifunktioiden derivointikaavat erotusosamäärää tarkastelemalla.
3) Päättymättömät jonot ja sarjat
Opiskelijalla on selkeä käsitys suppenemisesta ja hän suoriutuu erityistä taitoa vaativista tehtävistä. Tarvittaessa hän pystyy esim. johtamaan suppenevan geometrisen sarjan summan kaavan.

Lisätiedot

Opintojaksoon sisältyy tietokoneharjoituksia.