Ympäristötekniikan matemaattiset apuneuvotLaajuus (5 op)

Osaamistavoitteet

Kurssin jälkeen opiskelija tunnistaa tyypilliset ympäristöinsinöörin matemaattiset apuvälineet.
Opiskelija osaa selittää ja tulkita derivaatan ja integraalin käsitettä oman alansa tyypillisissä tilanteissa.
Opiskelija osaa käyttää derivaattaa ja integraalia myöhemmissä fysiikan, kemian, biologian ja ammattiaineiden ja matematiikan opintojaksoilla.
Opiskelija osaa tulkita vektoreita joko paikka-, tila-, muutos- tai suuntavektoreina.
Opiskelija vektorialgebran peruslaskutoimitukset sekä niiden visualisoinnin tasossa.
Opiskelija osaa soveltaa vektoreita kemian, ympäristötekniikan ja fysiikan sovelluksissa.
Opiskelija tunnistaa ja osaa mainita moniulotteisia vektoreita kemiassa ja ympäristötekniikassa.
Opiskelija osaa kuvata riippuvuuksia analyyttisen geometrian ja lineaaristen mallien avulla.
Opiskelija osaa selittää, mitä funktiolla tarkoitetaan sekä soveltaa sitä tekniikan matemaattisissa ongelmissa.
Opiskelija osaa piirtää tavallisimpia tekniikassa esiintyviä perusfunktioita.

Sisältö

Kurssilla tutustutaan ympäristöinsinöörin yleisimpiin matemaattisiin apuvälineisiin ja menetelmiin.
1. Raja-arvon käsite ja tyypillisten luonnontieteissä ja ympäristötekniikassa esiintyvien funktioiden raja-arvojen määrittäminen.
2. Derivaatta, numeerinen derivointi ja derivoimissäännöt.
3. Newtonin menetelmä yhtälöiden ratkaisemiseksi.
4. Integraalifunktio, integraalin käsite ja sen yhteys integraalifunktioon.
5. Numeerinen integrointi.
6. Derivaatan ja integraalin sovellukset luonnontieteissä ja ympäristötekniikassa.
7. Gradientin käsite.
8. Matemaattisten ohjelmistojen käyttö differentiaal- ja integraalilaskennassa.
1. Vektorialgebra
2. Skalaari, vektori ja kolmitulot sekä projektiot
3. Suorat, tasot ja hypertasot.
4. Lineaariset ja kvadraattiset empiiriset mallit.
5. Funktiot
6. Tietokoneavusteinen matematiikka

Arviointikriteerit, tyydyttävä (1)

1. Opiskelija hallitsee vektorialgebran peruslaskutoimitukset: yhteen- ja vähennyslaskun, pituuksien laskemisen ja skalaarilla kertomisen. Opiskelija osaa myös visualisoida em. laskutoimituksia tasossa.
2. Opiskelijaa osaa soveltaa vektoreita laskettaessa yksinkertaisten geometristen objektien kulmia, pinta-aloja tai tilavuuksia.
3. Opiskelija osaa määrittää tasavälisiä pisteitä annetulta suoralta sekä määrittää kolmen pisteen kautta kulkevan tason yhtälön.
5. Opiskelija osaa piirtää tavallisimpia ympäristötekniikassa esiintyviä perusfunktioita.
1. Opiskelija osaa määrittää perusfunktioiden raja-arvoja.
2. Opiskelija osaa kuvata derivaattaa geometrisesti ja derivoida derivoimissääntöjen avulla yksinkertaisia funktioita.
3. —
4. Opiskelija osaa kuvata integraaleja geometrisesti ja opiskelija osaa määrittää perusfunktioiden integraalifunktioita.
5. Opiskelija tunnistaa derivaattojen ja integraalien käytön yksinkertaisissa luonnontieteiden sovelluksissa.

Arviointikriteerit, hyvä (3)

1. Opiskelija kykenee ratkaisemaan liikkeisiin tai voimatasapainoihin liittyviä fysikaalisia ongelmia tasossa tai kolmiulotteisessa avaruudessa.
2. Opiskelija osaa sovelta vektoreita todellisten geometristen objektien kulmien, pinta-alojen tai tilavuuksien laskemisessa.
3. Opiskelija osaa soveltaa suoran käsitettä ympäristötekniikan prosesseihin liittyvissä ongelmissa.
4. Opiskelija osaa soveltaa tason käsitettä empiirisessä mallinnuksessa.
5. Opiskelija kykenee muodostamaan käänteis- ja yhdistettyjä funktioita.
6. Opiskelija osoittaa osaavansa vektoreiden ja geometristen objektien visualisoinnin matemaattisten ohjelmistojen avulla.
1. Opiskelija osaa määrittää rationaalifunktioiden raja-arvoja.
2. Opiskelija osaa kuvata derivaattaa algebrallisesti sekä laske derivaatoille likiarvoja erotusosamäärän tai symmetrisen erotusosamäärän avulla.
3. Opiskelija ratkaista Newtonin menetelmällä yksinkertaisia yhtälöitä, joilla ei ole analyyttistä ratkaisua.
4. Opiskelija osaa kuvata integraaleja raja-arvon käsitteen avulla. Opiskelija osaa määrittää integraalifunktioita tyypillisille ympäristötekniikassa esiintyville funktioille.
5. Opiskelija osaa käyttää useita numeerisen integroinnin menetelmiä.
6. Opiskelija osaa soveltaa derivaattoja ja integraaleja tyypillisissä luonnon- ja insinööritieteiden sovelluksissa, mm. optimointitehtävissä.
7. —
8. Opiskelija osoittaa osaavansa käyttää matemaattisia ohjelmistoja differentiaali- ja integraalilaskennan ongelmissa.

Arviointikriteerit, kiitettävä (5)

1. Opiskelija osaa selittää paikka- ja siirtymävektorin eron annetussa käytännön ongelmassa.
3. Opiskelija osaa määrittää suoran avulla prosessin uusia tiloja niin, että joko tilojen välinen etäisyys on vakio tai jonkin muuttujan muutos tilojen välillä on vakio.
5. Opiskelija osaa tehdä tulkintoja ympäristötekniikan julkaisuissa esiintyvistä lineaarisista malleista.
1. —
2. Opiskelija tuntee taulukkomuodossa annetun datan, esim. spektrien derivointitekniikoita.
3. Opiskelija ratkaista Newtonin menetelmällä yhtälöitä, joilla ei ole analyyttistä ratkaisua.
4. —
5. Opiskelija osaa integroida taulukkomuodossa annettua dataa, esim. spektrejä.
6. Opiskelija osaa soveltaa derivaattoja integraaleja tekniikan ongelmissa, esim. toisiinsa liittyvien muutosnopeuksien ongelmissa.
7. Opiskelija osaa selittää kuinka gradienttia voidaan käyttää hyväksi usean muuttujan funktioiden optimointitehtävissä.
8. Opiskelija osoittaa osaavansa kirjoittaa matemaattisia tietokoneohjelmia Matlabilla tai muulla vastaavalla matemaattisella ohjelmistolla.

Arviointikriteeri, hyväksytty/hylätty

1. Opiskelija hallitsee vektorialgebran peruslaskutoimitukset: yhteen- ja vähennyslaskun, pituuksien laskemisen ja skalaarilla kertomisen. Opiskelija osaa myös visualisoida em. laskutoimituksia tasossa.
2. Opiskelijaa osaa soveltaa vektoreita laskettaessa yksinkertaisten geometristen objektien kulmia, pinta-aloja tai tilavuuksia.
3. Opiskelija osaa määrittää tasavälisiä pisteitä annetulta suoralta sekä määrittää kolmen pisteen kautta kulkevan tason yhtälön.
5. Opiskelija osaa piirtää tavallisimpia ympäristötekniikassa esiintyviä perusfunktioita.
1. Opiskelija osaa määrittää perusfunktioiden raja-arvoja.
2. Opiskelija osaa kuvata derivaattaa geometrisesti ja derivoida derivoimissääntöjen avulla yksinkertaisia funktioita.
3. —
4. Opiskelija osaa kuvata integraaleja geometrisesti ja opiskelija osaa määrittää perusfunktioiden integraalifunktioita.
5. Opiskelija osaa laske integraalien likiarvoja keskipistemenetelmällä.
6. Opiskelija osaa soveltaa derivaattoja ja integraaleja yksinkertaisissa luonnontieteiden sovelluksissa.